有限数学示例

$x^{2} + y^{2} = 9$ , ${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

解题步骤 1

在 $x^{2} + y^{2} = 9$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$x^{2} = 9 - y^{2}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

解题步骤 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9 - y^{2}}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

解题步骤 1.3

化简 $\pm \sqrt{9 - y^{2}}$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{3^{2} - y^{2}}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

解题步骤 1.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3$ 和 $b = y$ 。

$x = \pm \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \pm \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

解题步骤 1.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

解题步骤 1.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

解题步骤 1.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$x = - \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$x = - \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$x = - \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

解题步骤 2

求解方程组 $x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}, {(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ 。

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解题步骤 2.1

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $\sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ 替换 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ 中所有出现的 $x$ .

${((\sqrt{(3 + y) (3 - y)}) - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.1

化简 ${((\sqrt{(3 + y) (3 - y)}) - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1.1

将 ${(\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3)}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3) (\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3)$ 。

$(\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3) (\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3) + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3) (\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1.2.1

运用分配律。

$\sqrt{(3 + y) (3 - y)} (\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3) - 3 (\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3) + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.2.2

运用分配律。

$\sqrt{(3 + y) (3 - y)} \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 (\sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3) + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.2.3

运用分配律。

$\sqrt{(3 + y) (3 - y)} \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$\sqrt{(3 + y) (3 - y)} \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.1

乘以 $\sqrt{(3 + y) (3 - y)} \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.1.1

对 $\sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{(3 + y) (3 - y)} \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.1.2

对 $\sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{(3 + y) (3 - y)} \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sqrt{(3 + y) (3 - y)}}^{1 + 1} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${\sqrt{(3 + y) (3 - y)}}^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${\sqrt{(3 + y) (3 - y)}}^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.2

将 ${\sqrt{(3 + y) (3 - y)}}^{2}$ 重写为 $(3 + y) (3 - y)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ 重写成 ${((3 + y) (3 - y))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({((3 + y) (3 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${((3 + y) (3 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${((3 + y) (3 - y))}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.2.4.1

约去公因数。

${((3 + y) (3 - y))}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.2.4.2

重写表达式。

$((3 + y) (3 - y)) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$((3 + y) (3 - y)) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.2.5

化简。

$(3 + y) (3 - y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$(3 + y) (3 - y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(3 + y) (3 - y)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.3.1

运用分配律。

$3 (3 - y) + y (3 - y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.3.2

运用分配律。

$3 \cdot 3 + 3 (- y) + y (3 - y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.3.3

运用分配律。

$3 \cdot 3 + 3 (- y) + y \cdot 3 + y (- y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$3 \cdot 3 + 3 (- y) + y \cdot 3 + y (- y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.4.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 + 3 (- y) + y \cdot 3 + y (- y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$9 - 3 y + y \cdot 3 + y (- y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.4.1.3

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$9 - 3 y + 3 \cdot y + y (- y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.4.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$9 - 3 y + 3 y - y \cdot y + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.4.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.4.1.5.1

移动 $y$ 。

$9 - 3 y + 3 y - (y \cdot y) + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.4.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$9 - 3 y + 3 y - y^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$9 - 3 y + 3 y - y^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$9 - 3 y + 3 y - y^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.4.2

将 $- 3 y$ 和 $3 y$ 相加。

$9 + 0 - y^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.4.3

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$9 - y^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$9 - y^{2} + \sqrt{(3 + y) (3 - y)} \cdot - 3 - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.5

将 $- 3$ 移到 $\sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ 的左侧。

$9 - y^{2} - 3 \cdot \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \cdot - 3 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.1.6

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$9 - y^{2} - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 9 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$9 - y^{2} - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 9 + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.2

将 $9$ 和 $9$ 相加。

$18 - y^{2} - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} - 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.3

从 $- 3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ 中减去 $3 \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ 。

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + {(y + 3)}^{2} = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.4

将 ${(y + 3)}^{2}$ 重写为 $(y + 3) (y + 3)$ 。

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + (y + 3) (y + 3) = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(y + 3) (y + 3)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1.5.1

运用分配律。

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y (y + 3) + 3 (y + 3) = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.5.2

运用分配律。

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3) = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.5.3

运用分配律。

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1.6.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.6.1.2

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.6.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + 3 y + 3 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + 3 y + 3 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.6.2

将 $3 y$ 和 $3 y$ 相加。

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + 6 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + 6 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + 6 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.1.2.1.2.1

合并 $18 - y^{2} - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + y^{2} + 6 y + 9$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1.2.1.2.1.1

将 $- y^{2}$ 和 $y^{2}$ 相加。

$18 + 0 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.2.1.2

将 $18$ 和 $0$ 相加。

$18 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$18 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y + 9 = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.1.2.1.2.2

将 $18$ 和 $9$ 相加。

$27 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$27 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$27 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$27 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$27 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y = 9$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2

在 $27 - 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y = 9$ 中求解 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1

将所有不包含 $- 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.2.1.1

从等式两边同时减去 $27$ 。

$- 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} + 6 y = 9 - 27$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.1.2

从等式两边同时减去 $6 y$ 。

$- 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} = 9 - 27 - 6 y$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.1.3

从 $9$ 中减去 $27$ 。

$- 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} = - 18 - 6 y$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$- 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)} = - 18 - 6 y$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- 6 \sqrt{(3 + y) (3 - y)})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ 重写成 ${((3 + y) (3 - y))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- 6 {((3 + y) (3 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.3.2.1

化简 ${(- 6 {((3 + y) (3 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(3 + y) (3 - y)$ 。

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解题步骤 2.2.3.2.1.1.1

运用分配律。

${(- 6 {(3 (3 - y) + y (3 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.1.2

运用分配律。

${(- 6 {(3 \cdot 3 + 3 (- y) + y (3 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.1.3

运用分配律。

${(- 6 {(3 \cdot 3 + 3 (- y) + y \cdot 3 + y (- y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(- 6 {(3 \cdot 3 + 3 (- y) + y \cdot 3 + y (- y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.3.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.3.2.1.2.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

${(- 6 {(9 + 3 (- y) + y \cdot 3 + y (- y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

${(- 6 {(9 - 3 y + y \cdot 3 + y (- y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.2.1.3

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

${(- 6 {(9 - 3 y + 3 \cdot y + y (- y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

${(- 6 {(9 - 3 y + 3 y - y \cdot y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.2.3.2.1.2.1.5.1

移动 $y$ 。

${(- 6 {(9 - 3 y + 3 y - (y \cdot y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.2.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

${(- 6 {(9 - 3 y + 3 y - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(- 6 {(9 - 3 y + 3 y - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(- 6 {(9 - 3 y + 3 y - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.2.2

将 $- 3 y$ 和 $3 y$ 相加。

${(- 6 {(9 + 0 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.2.3

将 $9$ 和 $0$ 相加。

${(- 6 {(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

${(- 6 {(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.3

对 $- 6 {(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 6)}^{2} {({(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.4

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$36 {({(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.5

将 ${({(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.2.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$36 {(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1.5.2.1

约去公因数。

$36 {(9 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.5.2.2

重写表达式。

$36 (9 - y^{2}) = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$36 (9 - y^{2}) = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$36 (9 - y^{2}) = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.6

化简。

$36 (9 - y^{2}) = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.7

运用分配律。

$36 \cdot 9 + 36 (- y^{2}) = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.8

乘。

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解题步骤 2.2.3.2.1.8.1

将 $36$ 乘以 $9$ 。

$324 + 36 (- y^{2}) = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.2.1.8.2

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$324 - 36 y^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = {(- 18 - 6 y)}^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.3.1

化简 ${(- 18 - 6 y)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.3.1.1

将 ${(- 18 - 6 y)}^{2}$ 重写为 $(- 18 - 6 y) (- 18 - 6 y)$ 。

$324 - 36 y^{2} = (- 18 - 6 y) (- 18 - 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 18 - 6 y) (- 18 - 6 y)$ 。

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解题步骤 2.2.3.3.1.2.1

运用分配律。

$324 - 36 y^{2} = - 18 (- 18 - 6 y) - 6 y (- 18 - 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.3.1.2.2

运用分配律。

$324 - 36 y^{2} = - 18 \cdot - 18 - 18 (- 6 y) - 6 y (- 18 - 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.3.1.2.3

运用分配律。

$324 - 36 y^{2} = - 18 \cdot - 18 - 18 (- 6 y) - 6 y \cdot - 18 - 6 y (- 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = - 18 \cdot - 18 - 18 (- 6 y) - 6 y \cdot - 18 - 6 y (- 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.3.3.1.3.1.1

将 $- 18$ 乘以 $- 18$ 。

$324 - 36 y^{2} = 324 - 18 (- 6 y) - 6 y \cdot - 18 - 6 y (- 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.3.1.3.1.2

将 $- 6$ 乘以 $- 18$ 。

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y - 6 y \cdot - 18 - 6 y (- 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.3.1.3.1.3

将 $- 18$ 乘以 $- 6$ 。

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y + 108 y - 6 y (- 6 y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.3.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y + 108 y - 6 \cdot (- 6 y \cdot y)$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.3.1.3.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.2.3.3.1.3.1.5.1

移动 $y$ 。

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y + 108 y - 6 \cdot (- 6 (y \cdot y))$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.3.1.3.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y + 108 y - 6 \cdot (- 6 y^{2})$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y + 108 y - 6 \cdot (- 6 y^{2})$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.3.1.3.1.6

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y + 108 y + 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = 324 + 108 y + 108 y + 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.3.3.1.3.2

将 $108 y$ 和 $108 y$ 相加。

$324 - 36 y^{2} = 324 + 216 y + 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = 324 + 216 y + 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = 324 + 216 y + 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = 324 + 216 y + 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 - 36 y^{2} = 324 + 216 y + 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$324 + 216 y + 36 y^{2} = 324 - 36 y^{2}$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.4.2

将所有包含 $y$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 2.2.4.2.1

在等式两边都加上 $36 y^{2}$ 。

$324 + 216 y + 36 y^{2} + 36 y^{2} = 324$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.4.2.2

将 $36 y^{2}$ 和 $36 y^{2}$ 相加。

$324 + 216 y + 72 y^{2} = 324$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$324 + 216 y + 72 y^{2} = 324$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.4.3

从等式两边同时减去 $324$ 。

$324 + 216 y + 72 y^{2} - 324 = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.4.4

合并 $324 + 216 y + 72 y^{2} - 324$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.4.4.1

从 $324$ 中减去 $324$ 。

$216 y + 72 y^{2} + 0 = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.4.4.2

将 $216 y + 72 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$216 y + 72 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$216 y + 72 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.4.5

从 $216 y + 72 y^{2}$ 中分解出因数 $72 y$ 。

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解题步骤 2.2.4.5.1

从 $216 y$ 中分解出因数 $72 y$ 。

$72 y (3) + 72 y^{2} = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.4.5.2

从 $72 y^{2}$ 中分解出因数 $72 y$ 。

$72 y (3) + 72 y (y) = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.4.5.3

从 $72 y (3) + 72 y (y)$ 中分解出因数 $72 y$ 。

$72 y (3 + y) = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$72 y (3 + y) = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.4.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y = 0$

$3 + y = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.4.7

将 $y$ 设为等于 $0$ 。

$y = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.4.8

将 $3 + y$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.2.4.8.1

将 $3 + y$ 设为等于 $0$ 。

$3 + y = 0$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.4.8.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$y = - 3$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$y = - 3$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.2.4.9

最终解为使 $72 y (3 + y) = 0$ 成立的所有值。

$y = 0, - 3$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$y = 0, - 3$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

$y = 0, - 3$

$x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 2.3

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用 $0$ 替换 $x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$

$y = 0$

解题步骤 2.3.2

化简 $x = \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1.1

去掉圆括号。

$x = \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$

$y = 0$

$x = \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$

$y = 0$

解题步骤 2.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.2.1

化简 $\sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$x = \sqrt{3 (3 - (0))}$

$y = 0$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$x = \sqrt{3 (3 + 0)}$

$y = 0$

解题步骤 2.3.2.2.1.3

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$x = \sqrt{3 \cdot 3}$

$y = 0$

解题步骤 2.3.2.2.1.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x = \sqrt{9}$

$y = 0$

解题步骤 2.3.2.2.1.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \sqrt{3^{2}}$

$y = 0$

解题步骤 2.3.2.2.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = 3$

$y = 0$

$x = 3$

$y = 0$

$x = 3$

$y = 0$

$x = 3$

$y = 0$

$x = 3$

$y = 0$

解题步骤 2.4

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $- 3$ 。

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解题步骤 2.4.1

使用 $- 3$ 替换 $x = \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = \sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$

$y = - 3$

解题步骤 2.4.2

化简 $x = \sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1.1

去掉圆括号。

$x = \sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$

$y = - 3$

$x = \sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$

$y = - 3$

解题步骤 2.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.2.1

化简 $\sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$x = \sqrt{0 (3 - (- 3))}$

$y = - 3$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \sqrt{0 (3 + 3)}$

$y = - 3$

解题步骤 2.4.2.2.1.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$x = \sqrt{0 \cdot 6}$

$y = - 3$

解题步骤 2.4.2.2.1.4

将 $0$ 乘以 $6$ 。

$x = \sqrt{0}$

$y = - 3$

解题步骤 2.4.2.2.1.5

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \sqrt{0^{2}}$

$y = - 3$

解题步骤 2.4.2.2.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

$x = 0$

$y = - 3$

解题步骤 3

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(3, 0)$

$(0, - 3)$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

点形式：

$(3, 0), (0, - 3), (0, - 3)$

方程形式：

$x = 3, y = 0$

$x = 0, y = - 3$

解题步骤 5

有限数学 示例

有限数学示例